Álgebra lineal Ejemplos

$3 x^{2} + n x + 5 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = n$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 3.1.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- n$ .

$x = \frac{- (n) + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{n^{2} - 60}$ .

$x = \frac{- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Paso 4.7

Reescribe $- (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ como $- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $- n$ .

$x = \frac{- (n) - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{n^{2} - 60}$ .

$x = \frac{- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Paso 5.7

Reescribe $- (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ como $- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Paso 5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}, - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{n^{2} - 60}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$n^{2} - 60 \geq 0$

Paso 8

Resuelve $n$

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Paso 8.1

Suma $60$ a ambos lados de la desigualdad.

$n^{2} \geq 60$

Paso 8.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} \geq \sqrt{60}$

Paso 8.3

Simplifica la ecuación.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| n | \geq \sqrt{60}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $\sqrt{60}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 8.3.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$| n | \geq \sqrt{4 (15)}$

Paso 8.3.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| n | \geq \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Paso 8.3.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| n | \geq | 2 | \sqrt{15}$

Paso 8.3.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| n | \geq 2 \sqrt{15}$

Paso 8.4

Escribe $| n | \geq 2 \sqrt{15}$ como una función definida por partes.

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Paso 8.4.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$n \geq 0$

Paso 8.4.2

En la parte donde $n$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Paso 8.4.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$n < 0$

Paso 8.4.4

En la parte donde $n$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- n \geq 2 \sqrt{15}$

Paso 8.4.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} n \geq 2 \sqrt{15} & n \geq 0 \\ - n \geq 2 \sqrt{15} & n < 0 \end{cases}$

Paso 8.5

Obtén la intersección de $n \geq 2 \sqrt{15}$ y $n \geq 0$ .

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Paso 8.6

Divide cada término en $- n \geq 2 \sqrt{15}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.6.1

Divide cada término de $- n \geq 2 \sqrt{15}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- n}{- 1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Paso 8.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{n}{1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Paso 8.6.2.2

Divide $n$ por $1$ .

$n \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Paso 8.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.6.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$ .

$n \leq - 1 \cdot (2 \sqrt{15})$

Paso 8.6.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 \sqrt{15})$ como $- (2 \sqrt{15})$ .

$n \leq - (2 \sqrt{15})$

Paso 8.6.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$n \leq - 2 \sqrt{15}$

Paso 8.7

Obtén la unión de las soluciones.

$n \leq - 2 \sqrt{15}$ o $n \geq 2 \sqrt{15}$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $n$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2 \sqrt{15}] \cup [2 \sqrt{15}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${n | n \leq - 2 \sqrt{15}, n \geq 2 \sqrt{15}}$

Paso 10